Question

如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（    ）

A. 1 个    B. 2 个    C. 3 个    D. 4 个

Answer

D

【解析】

①∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABC，

∵∠ABC=2∠C，

∴∠EBC=∠C，

∴BE=CE，

∴AC-BE=AC-CE=AE；（①正确）

②∵BE=CE，

∴点E在线段BC的垂直平分线上；（②正确）

③∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，

∴∠ABC=60°，∠C=30°，

∵BE=CE，

∴∠EBC=∠C=30°，

∴∠BEA=∠EBC+∠C=60°，

又∵∠BAC=90°，AD⊥BE，

∴∠DAE=∠ABE=30°，

∴∠DAE=∠C；（③正确）

④∠ABE=30°，AD⊥BE，

∴AB=2AD，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴BC=2AB，

∴BC=4AD.（④正确）

综上，正确的结论有4个，故选D.