如图，已知△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 F．（1）...

如图，已知△ABC 为等边三角形，AE=CD，AD、BE 相交于点 F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）若 BP⊥AD 于点 P，PF=9，EF=3，求 AD 的长．

（1）证明见解析；（2）AD=21. 【解析】试题(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠ACD，结合AE=CD得出三角形全等；(2)根据全等得出BE=AD，∠ABE=∠CAD，结合外角的性质得出∠BFP=60°，然后根据直角三角形的性质得出BF的长度，最后根据AD=BE=BF+EF得出答案．试题解析：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，又∵AE=CD， ∴△ABE≌△CAD； (2)∵△ABE≌△CAD， ∴BE=AD，∠ABE=∠CAD， ∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BFP=∠BAC=60°，又∵BP⊥AD，∴∠BPF=90°， ∴∠FBP=30°， ∴BF=2PF=18， ∴AD=BE=BF+EF=18+3=21．

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考点分析：

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如图，在△ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于 E，交 BC 于 G，且 AE∥BC．

（1）求证：△ABC 是等腰三角形；

（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．