Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.

Answer

20°或40°

【解析】

过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=（180°-∠C'PQ）=90°-θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．

如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，

由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，

∴BP平分∠A'PC，

又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，

∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，

∴∠BPQ=（180°-∠C'PQ）=90°-θ，

分三种情况：

①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，

∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，

∴90°-θ+2×（30°+θ）=180°，

解得θ=20°；

②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，

即90°-θ=30°+θ，

解得θ=40°；

③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-θ，

又∵∠BQP=30°+θ，

∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），

故答案为：20°或40°．