Question

如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：：b：：2：3；若，则；对于任意实数m，一定有；一元二次方程的两根为和，其中正确的结论是　　

A.     B.     C.     D.

Answer

C

【解析】

由抛物线上的两点坐标可以求出y=ax2+bx+c中a、b、c之间的倍数关系，可以用含有a的代数式表示b、c，再用带入求值法判定其它选项，具体见详解.

【解析】
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴b=﹣2a，c=﹣3a，

∴a：b：c=﹣1：2：3，故①正确；

当x=4时，y=a（x+1）（x﹣3）=a•5•1=5a，y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a，

∴当0＜x＜4时，则5a＜y＜﹣4a，所以②错误；

∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a，

∴顶点坐标为（1，﹣4a），

∵抛物线开口向下， c=﹣3a，

∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），

∴平移后的解析式为：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx﹣3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正确；

∵b=﹣2a，c=﹣3a，

∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，

整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2= ，所以④正确．

故选：C．