Question

已知二次函数的图象对称轴为，图象交x轴于A，B，交y轴于，且，直线与二次函数图象交于M，在N的右边，交y轴于P．

求二次函数图象的解析式；

若，且的面积为3，求k的值；

若，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．

Answer

（1）（2）k=2（3）

【解析】

（1）由图象对称轴为x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），把C点坐标代入二次函数即可求解；

（2）S△CMN=•HN•xM=6，用韦达定理求解即可；

（3）求出xN=，分2k﹣5＞0时和2k﹣5＜0两种情况，求出点Q坐标即可求解．

（1）由图象对称轴为x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），设 ，把代入二次函数表达式得：－3=－6a，∴a=，∴y= ，即．故函数表达式为：y=x2﹣x﹣3…①；

（2）∵b′=﹣5，∴直线MN表达式为：y=kx﹣5…②．设：N（x1，y1），M（x2，y2），将①、②联立并整理得：x2﹣（2k+1）x+4=0，则：x1+x2=2k+1，x1•x2=4，直线C（0，﹣3）、M（x2，y2）所在的直线方程为：y=，过N点做直线HM∥y轴，交MC于H，则H（x1，）．

∵S△CMN=•HN•xM=6，整理得：x1•y2﹣x2y1+3x1﹣3x2=6，把y1=3x1﹣5，y2=3x2﹣5，代入上式整理得：x2﹣x1=3，即：（x1+x2）2﹣4x1x2=9，k=2或k=－3（舍去）；

（3）b′=﹣3k，直线y=kx+b=kx﹣3k…③，将①、③方程联立并整理得：

x2﹣（2k+1）x+（6k﹣6）=0，△=4k2﹣20k+25=（2k﹣5）2＞0，xN=．

①当2k﹣5＞0时，xN=3，则N（3，0），而Q（0，0），P（0，﹣3k），C（0，﹣3），则：CP=3k﹣3，CQ=3，∴=k﹣1，即：＞；

②当2k﹣5＜0时，xN=2k﹣2，则N（2k﹣2，2k2﹣5k），则AN所在的直线方程为：y=，则：Q（0，2k﹣5），而C（0，﹣3），P（0，﹣3k），则：CP=3k﹣3，CQ=2k﹣2，∴=．故：≥．