Question

如图．小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得，．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将的顶点移到矩形的顶点处，再将三角形绕点顺时针旋转使点落在边上，此时，恰好经过点（如图），请你求出和的长度；

（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边和矩形边重合，然后将沿直线向右平移，至点与重合时停止．在平移过程中，设点平移的距离为，两纸片重叠部分面积为，求在平移的整个过程中，与的函数关系式，并求当重叠部分面积为时，平移距离的值（如图）．

Answer

（1），；（2）分两种情况：①重叠部分，②；当时，或．

【解析】

（1）先在Rt△BCE中，利用勾股定理求得CE的长，即可得DE的长，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的长；然后根据等腰三角形的性质与互余求得，

则可证，即，将各边数值代入即可求解；

（2）如图，分x≤4与x＞4两种情况，在Rt△EFG中，求得tan∠F的值，从而得到PB关于x的代数式，第一种情况根据梯形的面积公式整理即可得解；第二种情况根据y为△RPQ的面积加上矩形BCQP的面积即可得到；然后将y=10时分别代入求解即可.

（1）∵，，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴，

又∵，，

∴，即

在和中，

，，

∴，

则，

∴；

（2）分两种情况：

①是≤时，如图，与相交于，

∵的直角边，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是直角梯形，

则重叠部分；

②是＞时，如图，与相交于，与相交于，作PQ⊥CD与Q，

∵PQ∥FG，

∴∠RPQ=∠F，即tan∠RPQ=tan∠F=，

∴RQ=PQ=2，

∴，

当重叠部分面积为时，即分别代入两等式，

，

解得：（不合题意舍去）或，

得出，，

∴当时，，

当时，，

∴当时，或．