Question

如图，已知：二次函数y=x²+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与 y 轴交于点 C（0，-3）在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出当 PB+PC 最小时点 P的坐标；

（3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标．

Answer

（1）y=x２+2x-3；（2）点 P 的坐标为（-1，-2）；（3）点 Q 的坐标为（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．

【解析】

（1）根据题目中点 A 和点 C 的坐标可以求得该抛物线的解析式；

（2）根据二次函数图象具有对称性和两点之间线段最短可以求得点P 的坐标；

（3）根据（1）中求得的函数解析式可以求得点 B 的坐标，然后根据△ABQ 的面积为 6，可以求得点Q 的纵坐标的绝对值，然后根据点Q 在抛物线上，即可求得点 Q 的坐标．

（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0）和点C（0，-3），

∴，

得，

即抛物线的解析式为y=x2+2x-3；

（2）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3=（x+1）2-4，如图：

∴该抛物线的对称轴为直线x=-1，

∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x=-1对称，

∴点P到点A的距离等于点P到点B的距离，

∵两点之间线段最短，

∴连接点A和点C与直线x=-1的交点就是使得PB+PC最小时的点P，

设过点A（-3，0）和点C（0，-3）的直线解析式为y=kx+m，

，得，

即直线AC的函数解析式为y=-x-3，

当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，

即点P的坐标为（-1，-2）；

（3）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3，

当y=0时，x=-3或x=1，

∴点B的坐标为（1，0），

∵点A的坐标为（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，

∵抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，

∴设点Q的纵坐标的绝对值为：=3，

当点Q的纵坐标为3时，则3=x2+2x-3，得x1=-1+，x2=-1-，

当点Q的纵坐标为-3时，则-3=x2+2x-3，得x3=0或x4=-2，

∴点Q的坐标为（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．