Question

我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，，那么当n=12时，π≈=______．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）

Answer

3.11．

【解析】如图 ,

圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形 , 其顶角为 30°, 即 ∠O=30°,∠ABO=∠A=75° ，

作 BC⊥AO 于点 C, 则 ∠ABC=15° ，

∵AO=BO=r ，

∴BC=r,OC= r ，

∴AC=(1− )r ，

∵Rt△ABC 中 ,cosA=，

即 0.259= ，

∴AB≈0.517r ，

∴L=12×0.517r=6.207r ，

又 ∵d=2r ，

∴π≈≈3.10 ，

故答案为： 3.10