Question

如图，已知△OAB的顶点A(6,0)，B(0,2)，O是坐标原点．将△OAB 绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．

(1)写出C、D两点的坐标；

(2)求过C、D、A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M的坐标；

(3)在线段AB上是否存在点N使得MA=NM？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

C（-2,0），D（0,6）；（2） ，M(2,8)；（3）存在，N（0,2）.

【解析】

（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得CD两点的坐标；
（2）设出解析式，并将A、C、D三点的坐标代入可得方程组，解可得解析式，进而可得M的坐标；
（3）假设存在并设出其坐标，连接MB，作ME⊥y轴于E，可得ME、BE、MB的长，进而可得BA与MB的关系，即可求出N的坐标，故可作出判断．

(1)C(−2,0),D(0,6).

(2)设所求抛物线的解析式为

∵A，C，D在抛物线上

∴解得即

又

∴M(2,8).

(3)

连接MB，作ME⊥y轴于E

则ME=2，BE=8−2=6

∴MB= ，BA=MB

即在线段AB上存在点N(0,2)(即点B)使得NA=NM.