Question

已知顶点为A的抛物线y=a(x- )²-2经过点B(- ，2)，点C(，2)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；

(3)如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN₁，若点N₁落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

Answer

（1）；（2）或；（3）点Q的坐标为 或（ ）或（）.

【解析】

（1）把点B(- ，2)代入，求得 a的值即可；

（2）由已知可求得直线AB的解析式为:y=-2x-1，根据解析式易求E(0,-1), F(0, ),M(,0) ,由△OPE∽△FAE,继而求得OP的长，设点P(t,-2t-1)，可得关于t的方程，解方程求得t的值，根据对称性可知方程的解都满足条件，由此即可得；

（3）若Q在AB上，点Q在BC上，且Q在y轴左侧，Q在BC上，且Q在y轴右侧，三种情况分别讨论即可得.

（1）把点B(- ，2)代入，解得 a=1

抛物线的解析式为：，

即;

（2）由（1）可得点A的坐标为(,-2)

设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A,B的坐标得：

，解得：

直线AB的解析式为：y=-2x-1

易求得E(0,-1), F(0, ),M(,0)，

若∠OPM=∠MAF,

当OP∥AF时，则有△OPE∽△FAE

，

，

设点P(t,-2t-1)，则

解得:

由对称性知；当时，也满足∠OPM=∠MAF，

都满足条件，

△POE的面积=,

△POE的面积为或；

（3）若Q在AB上运动，如图：设Q(a,-2a-1),则QN=-2a,NE=-a, =-2a

易知△∽△，

若Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图：NE=a, ,

易知：

Rt△中,

;

若Q在BC上运动，且Q在y轴右侧，如图：NE=a, ,

易知：

Rt△中,

;

综上所述Q点的坐标为：.