Question

如图，、是⊙的切线，，为切点，.连接并延长与⊙交于点，连接、.

(1)求证：四边形是菱形.

(2)若⊙半径为1，求菱形的面积.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；

（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．

(1)连接AO，BO，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，

∴∠ACO=30°，

∴∠ACO=∠APO，

∴AC=AP，

同理BC=PB，

∴AC=BC=BP=AP，

∴四边形ACBP是菱形；

(2)连接AB交PC于D，

∴AD⊥PC，

∴OA=1，∠AOP=60°，

∴AD=OA=，

∴PD=，

∴PC=3，AB=，

∴菱形ACBP的面积=AB•PC=．