Question

如图，抛物线（≠0）与轴交于A(-4，0)，B（2，0），与轴交与点C（0，2）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；   

Answer

(1)y=﹣x2﹣x+2；(2)S△ADC的最大值为2，此时D（﹣2，2）．

【解析】

（1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出；

（2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积，表示出面积与m的关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可．

(1)根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），

把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；

(2)过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，

设直线AC解析式为y=kx+t，则有

，

解得：，

∴直线AC解析式为y=x+2，

设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m，

∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，

∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG•AH+DG•OH=DG•AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣ [（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2，

当m=﹣2时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．