Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点Q是CD边的中点，过点Q作AQ⊥PQ交BC于P，（1）证明：△ADQ ∽△QCP；（2）若PC=1，求BP的长．

Answer

(1)见解析;(2)3.

【解析】

(1)利用同角的余角相等,得∠PQC=∠QAD,即可证明相似,

（2）利用正方形性质和比例式即可求解.

证明:∵AQ⊥PQ,

∴∠PQC+∠AQD=90°

∵∠D=90°,

∴∠QAD+∠AQD=90°

∴∠PQC=∠QAD

又∠C=∠D=90°,

∴△ADQ∽△QCP

（2）∵四边形ABCD为正方形,

∴AD=CD=BC,

∵点Q是CD边的中点,CP=1

∴CQ=DQ=AD

由（1）得=）2=AD

解得：AD=0（舍）或AD=4

∴BC=4

∴BP=BC-CP=4-1=3