Question

已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°．

（1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长．

（2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H．

① 若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长；

② 直接写出PH长的取值范围．

Answer

见解析

【解析】

（1）根据旋转得到∠ABD=∠FBE,再用三线合一性质得∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°即可解题.（2）第一问过点P作PM⊥BD,证明△ABD∽△MBP,根据相似比,证明△BPG是等腰三角形,即可求出BG的长,第二问旋转△BAD即可.

（1）由旋转可知∠ABD=∠FBE,BD=BE,

∵四边形ABCD为矩形,

∴∠DAB=∠EFB=∠ABE=90°,

∴BF垂直平分线段DE,

∴∠DBF=∠FBE,

∴∠ABD=∠FBE=∠DBF=30°

在直角三角形DAB中,AD=BC=2,

∴BD=4,AD=2

（2）①如图所示,过点P作PM⊥BD于点M,

∵BC=AD=2,AB=4,P是AB边的中点,

∴BD=2（勾股定理）,BP=2,

又∵∠ABD=∠MBP

∴△ABD∽△MBP

∴=,即=

∴MB=

∵△BPG是等腰三角形,PM⊥BD

∴BG=2BM=

②2,以点B为旋转中心旋转△BAD,当BF在AB的右侧延长线时,PH最长=BF+BP=6

当BF与AB重合时,PH最短=AB-BP=2