Question

已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A—D—C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．

（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α ° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α ，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），;（2）见解析;（3）见解析.

【解析】

（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；

（2）分当0＜t≤3时，当3＜t≤6时，当6＜t≤9时，当9＜t≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；

（3）分交点都在BC左侧，顶角为120°，交点都在BC右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可.

【解析】
（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，

如图1,

AQ=AD=6，

∴t=6÷1=6（秒）；

当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时，

如图2,

由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，

知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，

∴QE∥AD，

∵点E是AB的中点，

∴此时点Q是CD的中点，

可求：AD+DQ=6+3=9，

所以t=9÷1=9（秒）；

（2）如图3,

当0＜t≤3时，

由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，

可求：∠PAG=30°，

∵∠APQ=60°，

∴∠AGP=90°，

由AP=t，可求：PG=t，AG=t，

∴S=PG×AG=t2；

当3＜t≤6时，

如图4,

,

AE=3，AP=t，

∴PE=t-3，

过点C作AB的垂线，垂足为H，

由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，

可求：CH=3，BH=3，EH=6，

tan∠KEB=，

过点K作KM⊥AB，作CN∥PK交AB的延长线于N，

∵△EKP∽△ECN，可得

=，

可求KM=，

∴S△PEK=，

可求∠QAG=30°，

又∠AQG=60°，AQ=t，

可求∠AGQ=90°，

DG=t，GQ=t，

∴S△AGQ=t2，

等边三角形APD的面积为：，

∴S=-t2-=−+t−，

当6＜t≤9时，

如图5，

，

与前同理可求：S△FQP=9，

S△GQN=，

S△KEP=，

∴S=9--=−t2+4t−，

当9＜t≤12时，

如图6，

求出：S△PQF=9，

S△QGH=，

S△NEP=，

S△KEF=，

∴S=S△PQF-S△QGH-S△NEP+S△KEF=9-- +=t2−5t+30；

（3）逆时针旋转：

①α=150°，如图7，

此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，

可证△ACD∽△APM，

∴＝，

易求AP=12，AC=6，AD=6，

解得：AM=4，

所以，CM=2；

②α=105°，如图8,

此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，

∴AM=AP=12，

在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，

可求AC=6，

所以，CM=12=6；

③α=60°，如图9,

此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，

∴BC∥PM，

由AB=BP=6可得，CM=AC=6,

所以：CM=6；

④α=15°，如图10,

此时，易求∠APM=∠M=15°，

∴AM=AP=12，

所以：CM=AM+AC，

CM=12+6．