Question

.若一个自然数各位数字左右对称，则称这样的自然数是对称数，如22，989，5665，12321…，都是对称数．

若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数．例如：17 与 71，132 与 231， 5678 与 8765，…，都互为逆序数．

有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与这个和的逆序数相加，连续进行下去…，便可以得到一个对称数．例如：17 的逆序数为 71，17+71=88，88 是一个对称数；39 的逆序数为 93，39+93=132， 132 的逆序数为 231，132+231=363，363 是一个对称数．请你根据以上材料， 求以 687 产生的第一个对称数；

(1)猜想任意一个三位数与其逆序数之差能否被 99 整除？并说明理由．

(2)若两位自然数 A 按上述方式的第一个对称数是484，A 的十位上的数字大于个位上的数字，求 A 的值．

Answer

(1)能被 99 整除．理由见解析；(2)见解析．

【解析】

（1）写出687的逆序数，求出它与原数的和，再写出它们和的逆序数，再求和直到得到对称数；

（2）任意三位数，可设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，表示出该三位数，再写出其逆序数，计算它们的差，整理后若是99的倍数，则能被99整除，否则就不能被99整除；

（3）由 484 先推理得出 A 与其逆序数的和，再得到两位自然数 A 的值．

（1）687的逆序数是786，所以687+786=1473，

1473的逆序数是3741，所以1473+3741=5214，

5214的逆序数是4125，所以5214+4125=9339．

以687产生的第一个对称数是9339．

（2）能被99整除．理由：

若一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c， 则这个三位数是100a+10b+c，其逆序数为 100c+10b+a，

所以100a+10b+c﹣100c﹣10b﹣a=99a﹣99c=99（a﹣c），

由于a、c 都是整数，所以 99（a﹣c）一定能被 99 整除，

即任意一个三位数与其逆序数之差能被99整除；

（3）因为两位数与其逆序数相加小于484，

所以484应该是一个三位数与其逆序数相加而得．

设这个三位数为（abc），则它的逆序数为（cba）由于a+c=4，2b=8，

所以A与其逆序数的和为143或242（不是两个数的和故舍去） 设两位自然数A为10m+n，则其逆序数为10n+m，

所以10m+n+10n+m=143，即11（m+n）=143，

所以m+n=13，

又因为m＞n，

所以m=7，8，9；n=6，5，4，

所以两位自然数A为76或85或94．