Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，E是BC的中点，连接BD，DE.

(1)若，求sinC；

(2)求证：DE是⊙O的切线．

Answer

(1)sinC＝；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，根据三角形的内角和得到∠ABD＋∠BAD=90°. ∠ABC=90°，得到∠C＋∠BAC=90°，根据同角的余角相等得到∠C=∠ABD.根据正弦的定义得到sin∠ABD=，即可求出sinC；

(2) 连接OD，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到DE=BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠EBD. ∠ODB=∠OBD.即可求出∠EDO=90°，即可证明.

(1)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD＋∠BAD=90°.

∵∠ABC=90°，

∴∠C＋∠BAC=90°，

∴∠C=∠ABD.

∵，

∴sin∠ABD=，

∴sinC=.

(2)如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=90°.

∵E为BC的中点，

∴DE=BE=CE，

∴∠EDB=∠EBD.

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD.

∵∠ABC=90°，

∴∠EDO=∠EDB＋∠ODB=∠EBD＋∠OBD=∠ABC=90°，

∴OD⊥DE.

∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．