Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．

（1）求证：四边形ACBP是菱形；

（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．

Answer

（1）.证明见解析；（2）菱形ACBP的面积=．

【解析】

试题（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．

试题解析：

（1）连接AO，BO，

∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°，

∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP，

同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四边形ACBP是菱形；

（2）连接AB交PC于D，

∴AD⊥PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD=OA=，

∴PD=，∴PC=3，AB=，

∴菱形ACBP的面积=AB•PC=．