Question

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．

（1）求证：△BDG∽△DEG；

（2）若EG•BG=4，求BE的长．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF。∴∠FDC=∠EBC。

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC。∴∠FDC=∠EBE。

又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG。

（2）【解析】
∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC。

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°。

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC。

∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF。∴BD=BF，

∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG。

∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF。

∵BD=BF，∴DF=2DG。

∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴。 ∴BG×EG=DG×DG=4。∴DG=2

∴BE=DF=2DG=4。

（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可。

（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案