Question

在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高

(1) 如图1，求证：∠BAC＝2∠BCD

(2) 如图2，∠ACD的平分线CE交AB于E，过E作EF⊥BC于F，EF与CD交于点G．若ED＝m，BD＝n，请用含有m、n的代数式表示△EGC的面积

           

Answer

（1）证明见解析；（2）（m+n）m．

【解析】

(1) 过A作AE⊥BC于E, 交CD于F, 利用三线合一的性质, 通过证明

∠BAE=∠BCD来证明∠BCD=∠BAE=∠A;

(2) 过点A作AP⊥BC于点P, 求出∠BAP=∠PAC, 求出∠BAP=∠PAC=∠BCD, ∠ACE=∠ECD,推出2 (∠BCD+∠ECD) =90, 求出∠BCE=∠FEC=45, 推出EF=FC, 求出∠BEF=∠BAP=∠BCD, ∠BFE=∠EFC=90, 根据ASA证出△BFE≌△GFC,得BE=CG=m+n,即可得到结论.

证明：(1)如图1，过A作AE⊥BC于E，交CD于F.

证∠BAE=∠BCD．

∴∠BAC=2∠BCD；

(2)如图2，过点A作AP⊥BC于点P.

∵AB=AC，

∴∠BAP=∠PAC，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°

∵CE平分∠DCA，

∴∠ACE=∠ECD，

∴∠ACE+∠PAC=45°

∴∠DCB+∠DCE=45°

∴∠FCE=45°，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°

∴EF=FC，

证△BFE≌△GFC（ASA），

∴BE=CG=m+n，

∴△EGC的面积=CG•DE=（m+n）m．