Question

如图，抛物线y=ax²+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x，自变量x的取值范图是0≤x≤2；（2）△PAB的面积=．

【解析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-2x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

（1）由题意得，，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或2，

结合图象知，A的坐标为（2，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤2；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-2x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA∽△AEB,

∴，即，

解得，x= −，

∴x2-2x=.

∴点P的坐标为（−，），

∴△PAB的面积=|-−2|×|−(−3)|-×|−−2|×-×|-−1|×|−(−3)|- ×|2-1|×|0-（-3）|=．