Question

如图，已知抛物线的方程C1:y=－(x+2)(x－m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C₁过点M(2，2)，求实数m 的值．

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．

(3)在第四象限内，抛物线C₁上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）4；（2）（1，）；（3）存在，m=．

【解析】

试题（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；（2）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图2所示；（3）本问需分两种情况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图3所示．此时可求得m=2+2；②当△BEC∽△FCB时，如答图4所示．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在．

试题解析：（1）将M（2，2）代入，得．解得m＝4；

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小，设对称轴与x轴的交点为P，那么．因此．解得．所以点H的坐标为（1，）；

（3）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为，由，得．解得x＝m＋2．所以F′（m＋2, 0）．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程无解．

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m=．