Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10 ,OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处.

（1）求CE和OD的长；

（2）求直线DE的表达式；

（3）直线y=kx+b与DE平行，当它与矩形OABC有公共点时，直接写出b的取值范围．

Answer

（1）CE=4，OD=5；（2）直线DE的解析式为y=x+5．（3）﹣≤b≤8．

【解析】

试题（1）先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长．

（2）根据CE、OD的长求得D、E的坐标，然后根据待定系数法即可求得表达式．

（3）根据平行的性质分析讨论即可求得．

试题解析：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，BE==6，

∴CE=10-6=4，

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD，

∴（8-OD）2+42=OD2，

∴OD=5．

（2）∵CE=4，

∴E（4，8）．

∵OD=5，

∴D（0，5），

设直线DE的解析式为y=mx+n，

∴，解得，

∴直线DE的解析式为y=x+5．

（3）∵直线y=kx+b与DE平行，

∴直线为y=x+b，

∴当直线经过A点时，0=×10+b，则b=-，

当直线经过C点时，则b=8，

∴当直线y=kx+b与矩形OABC有公共点时，-≤b≤8．