Question

如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．

在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．

若，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．

若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

Answer

BG=CH，证明见解析；在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，； 见解析.

【解析】

连接BD，根据等腰直角三角形的性质，得，，，，由，，推出后，结合，即可推出≌，根据全等三角形的性质可得；

首先根据题意求出，然后通过求证≌，由的结论，即可推出，再根据，，推出，即得，，便可确定在旋转过程中四边形GBHD的面积不变；

连接BD后，首先通过余角的性质推出，再根据，推出，即可推出和，便可得．

和CH为相等关系，

如图1，连接BD，

等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

，

，

在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，

当三角板DEF旋转至图2所示时，的结论仍然成立，

如图2，连接BD，

，，，

，，

，

等腰直角三角形ABC，

，

，

在和中，

，

≌，

．