Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）

（1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？

Answer

（1）5厘米；（2）当t为 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．

【解析】

（1）作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形，在直角△DEC中运用勾股定理即可求解；

（2）由题意可知BP=t厘米，则PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，同时由题意可知0＜t≤2.5；作QH⊥BC于点H，运用三角形相似可求解QH的长度表达式，则可列出△DEC的面积表达式，再按线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分S△PQC：S四边形ABCD=1：3和S△PQC：S四边形ABCD=2：3两种情况分别讨论.

（1）【解析】
如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2 ，

∴DC= =5厘米；

（2）【解析】
∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于点H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴ = ，即 = ，

∴QH= t，

∴S△PQC= PC•QH= （5﹣t）• t=﹣ t2+3t，

S四边形ABCD= （AD+BC）•AB= （1+5）×3=9，

分两种情况讨论：

①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，

﹣ t2+3t= ×9，即t2﹣5t+5=0，

解得t1= ，t2= （舍去）；

②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，

﹣ t2+3t= ×9，即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程无解，

∴当t为 秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．