Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4（2-）π．

【解析】

（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．

（2）求△ABC外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．

（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，

∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ADB=∠CDF，

∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），

∴∠EDF=∠CDF，

即AD的延长线平分∠CDE．

（2）设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，

∵AB=AC，

∴，

∴AH⊥BC，

∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，

∴∠COH=2∠OAC=30°，

设圆半径为r，

则OH=OC•cos30°=r，

∵△ABC中BC边上的高为1，

∴AH=OA+OH=r+r=1，

解得：r=2（2-），

∴△ABC的外接圆的周长为：4（2-）π．