Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F.

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径R=5，且tanC =，求EF的长.

Answer

（1）相切；（2）

【解析】

（1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF=90°；

（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD=2，CD=4，根据三角形的面积公式得到DH==4，由勾股定理得到OH==3，根据三角形相似得到OD2=OH•OE，求得OE=，得到BE=，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：如图，连接OD，BD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，

∴BD⊥AC．

∵AB=BC，

∴AD=DC．

∵OC=OB，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD．

∴直线DE是⊙O的切线．

（2）过D作DH⊥BC于H，

∵⊙O的半径R=5，tanC=，

∴BC=10，

设BD=k，CD=2k，

∴BC=k=10，

∴k=2，

∴BD=2，CD=4，

∴DH==4，

∴OH==3，

∵DE⊥OD，DH⊥OE，

∴OD2=OH•OE，

∴OE=，

∴BE=，

∵DE⊥AB，

∴BF∥OD，

∴△BFE∽△ODE，

∴，即，

∴BF=2，

∴EF=．