Question

如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F．

（1）求证：OD=OC；

（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；

（3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF．

【解析】

（1）证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通过上一问得OD=OC，ED=EC即可证明，（3）根据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系。

证明：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D，

∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，

在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC；

（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，ED=EC，

∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上，

∴OE 是 CD 的垂直平分线；

（3）OE=4EF．

∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF．