Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S_△ABC+S_△CDE≧S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM，正确结论的个数是（ ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】

试题解析：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，

∴AB=BC，CD=DE，

∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，

∴∠ACE=90°；

∵△ABC∽△CDE

∴

①∴tan∠AEC=，

∴tan∠AEC=；故本选项正确；

②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，

∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab，

S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），

∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；

④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．

∵点M是AE的中点，

则MN为梯形中位线，

∴N为中点，

∴△BMD为等腰三角形，

∴BM=DM；故本选项正确；

③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），

∴∠BMD=90°，

即BM⊥DM；故本选项正确．

故选D.