Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：

①∠EBG=45°；            ②△DEF∽△ABG；

③S_△ABG=S_△FGH；        ④AG+DF=FG．

其中正确的是_____．（填写正确结论的序号）

Answer

①④．

【解析】根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，AG=GH，BC=BF=10，AB=BH=6，根据勾股定理求出AG=GH=3，再逐个判断即可．

【解析】
∵根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，

又∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAC=90°，

∴∠EBG=×90=45°，∴①正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90°，

∴根据折叠得∠BFE=∠C=90°，

∴∠ABG+∠BGA=90°，∠EFD+∠BFA=90°，

∵∠BGA＞∠BFA，

∴∠BAG≠∠EFD，

∵∠GHB=∠A=90°，∠EFB=∠C=90°，

∴∠GHB=∠EFB，

∴GH∥EF，

∴∠EFD=∠HGF，

根据已知不能推出∠AGB=∠HGF，

∴∠AGB≠∠EFD，

即△DEF和△ABG不全等，∴②错误；

∵根据折叠得：AB=BH=6，BC=BF=10，

∴由勾股定理得：AF==8，

∴DF=10﹣8=2，HF=10﹣6=4，

设AG=HG=x，

在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2=GF2，

即x2+42=（8﹣x）2，

解得：x=3，

即AG=HG=3，

∴S△ABG=×AB×AG=×6×3=9，

S△FHG=×GH×HF=×3×4=6，∴③错误；

∵AG+DF=3+2=5，GF=10﹣3﹣2=5，∴④正确；

故答案为：①④．

“点睛”本题考查了勾股定理。折叠的性质，矩形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解题的关键.