Question

如图，数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b，且（a+5）²+|b﹣7|=0．

（1）求 a，b；A、B 两点之间的距离．

（2）有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动 2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动 3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到 2019次时，求点P所对应的数．

（3）在（2）的条件下，点 P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点 P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍？请直接写出此时点 P所对应的数，并分别写出是第几次运动．

Answer

（1）a=﹣5，b=7，12；（2）点 P 所对应的数为﹣1015；（3）﹣11 和﹣2 分别是点 P 运动了第 11 次和第 6 次到达的位置．

【解析】

（1）根据二次多项式的定义得到 a+5=0，由此求得 a 的值；然后由多项式的系数的定义得到 b 的值，则易求线段 AB 的值；

（2）根据题意得到点 P 每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可；

（3）设点 P 对应的有理数的值为 x，分情况进行解答：点 P 在点 A 的左侧，点 P在点 A、B 之间、点 P 在点 B 的右侧三种情况．

（1）∵（a+5）2+|b﹣7|=0，

∴a+5=0，b﹣7=0，

∴a=﹣5，b=7；

∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12；

（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，

依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015．

答：点P所对应的数为﹣1015；

（3）设点P对应的有理数的值为x，

①当点P在点A的左侧时：PA=﹣5﹣x，PB=7﹣x，

依题意得：7﹣x=3（﹣5﹣x），解得：x=﹣11；

②当点P在点A和点B之间时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=7﹣x，

依题意得：7﹣x=3（x+5），

解得：x=﹣2；

③当点P在点B的右侧时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=x﹣7，

依题意得：x﹣7=3（x+5），

解得：x=﹣11，这与点P在点B的右侧（即 x＞7）矛盾，故舍去．

综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．

所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．