Question

（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．

Answer

（1）参见解析；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．

【解析】

试题（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；（2）此题应用菱形的判定，先说明四边形AFCE已经是平行四边形，再应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵O是CA的中点，∴OA=OC，又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），∴EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．