Question

（2017甘肃省天水市）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析，．

【解析】

试题（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；（2）连接PQ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CQE，根据相似三角形的性质可得，把BP=a，CQ=代入上式可求得BE=CE=，再求得，AB=AC=BC•sin45°=3a，所以，，在Rt△APQ中，由勾股定理可得．

试题解析：

【解析】
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵AP=AQ，

∴BP=CQ，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∵，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）【解析】
连接PQ，

∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∴△BPE∽△CQE,

∴，

∵BP=a，CQ=a，BE=CE，

∴，

∴BE=CE=，

∴，

∴AB=AC=BC•sin45°=3a，

∴，，

在Rt△APQ中，．