Question

如图，直线y=x+b与双曲线y=（k是常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．点P在x轴．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）若△BCP的面积等于2，求P点的坐标；

（3）求PA+PC的最短距离．

Answer

（1）直线的解析式为y=x+1；（2）P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）；（3）

【解析】试题（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；

（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．

（3）作C关于x轴的对称点C′，此时PA+PC最短，最短距离可利用勾股定理求得．

试题解析：解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得：k=2，∴双曲线的解析式为y=；

把A（1，2）代入直线y=x+b，可得：b=1，∴直线的解析式为y=x+1；

（2）设P点的坐标为（x，0），在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO．∵△BCP的面积等于2，∴BP×CO=2，即|x﹣（﹣1）|×1=2，解得：x=3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．

（3）如图，作C关于x轴的对称点C′，则C（0，﹣1）．

此时PA+PC最短，最短距离是．