Question

关于x的一元二次方程4x²+4（m﹣1）x+m²=0

（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？

（2）设方程有两个实数根x₁  ， x₂  ， 问m为何值时，x₁²+x₂²=17？

（3）若方程有两个实数根x₁，x₂， 问x₁和x₂能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）m=﹣4（3）m≠0，且m≤

【解析】

（1）根据根的判别式，列出不等式求解即可；

(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=1﹣m，x1•x2=代入方程求解;

(3) 根据当m≤时，方程有两个实数根，由（2）知，x1•x2=，

＞0，可得m的取值范围.

（1）∵当△=[4（m﹣1）]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0时，方程有两个实数根，

即m≤，

∴当m≤时，方程有两个实数根；

（2）根据根与系数关系得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1•x2=，

∵x12+x22=17，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=17，

∴（1﹣m）2﹣=17

解得：m1=8，m2=﹣4，

∵当m≤时，方程有两个实数根，

∴m=﹣4；

（3）∵由（1）知当m≤时，方程有两个实数根，由（2）知，x1•x2=，

∴＞0，

∴当m≠0，且m≤时，x1和x2能同号，

即m的取值范围是：m≠0，且m≤．