Question

已知在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=-2x²+bx+c的图像经过点A（-3,0）和点B（0,6）。（1）求此二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D,求∠sin∠ABD；（3）在第（2）小题的条件下，连接OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并且说明理由。

Answer

(1)y=-2x2-4x+6；(2)sin∠ABD=;(3)略.

【解析】

试题（1）把点A、B的坐标代入函数解析式计算求出b、c的值，即可得解；

（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出与x轴的交点D的坐标，过点A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；

(3)过点C作CP⊥x轴于P，分别求出∠BAO和∠COP的正切值，根据正切值相等求出∠BAO=∠COP，再根据同位角相等，两直线平行解答．

试题解析：（1）由题意得， −2×9−3b+c＝0 c＝6 ，

解得 b＝−4 c＝6 ，

所以，此二次函数的解析式为y=-2x2-4x+6；

（2）∵y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，

∴函数y=2x2-4x+6的顶点坐标为（-1，8），

∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

解得，

所以，直线BC的解析式为y=x+6，

令y=0，则x+6=0，

解得x=-12，

∴点D的坐标为（-12，0），

过点A作AH⊥BD于H，

OD=12，BD=，

AD=-3-（-12）=-3+12=9，

∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，

∴△ADH∽△BDO，

∴AH:OB ="AD:BD" ，

即AH:6 =9:，

解得AH=，

∵AB=，

∴sin∠ABD=；

(3)过点C作CP⊥x轴于P，

由题意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，

∴tan∠COP==2，

tan∠BAO==2，

∴tan∠COP=tan∠BAO，

∴∠BAO=∠COP，

∴AB∥OC．