Question

如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接.已知，设.

  (1)用含的代数式表示的值;

  (2)探究:当点满足什么条件时，的值最小?最小值是多少?

  (3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式的最小值.

Answer

（1）；（2）三点共线时；（3）13

【解析】

试题（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

（1）；

（2）当三点共线时，的值最小．

（3）如下图所示，作，过点作，过点作，使，．连结交于点，的长即为代数式的最小值．

过点作交的延长线于点，得矩形，

则，12．

所以，即的最小值为13．