Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的面积为16，点D的坐标为（0，3）．将直线BD沿y轴向下平移d个单位得到直线l（0＜d≤4）．

（1）则点B的坐标为　  　；

（2）当d=1时，求直线l的函数表达式；

（3）设直线l与x轴相交于点E，与边AB相交于点F，若CE=CF，求d的值并直接写出此时∠ECF的度数．

Answer

（1）B（4，4），（2）y=x+2；（3）当CE=CF时，当d=4时∠ECF=0°，当d=时∠ECF=90°．

【解析】

（1）由正方形的面积可求得其边长为4，则可求得B点坐标；

（2）利用待定系数法可求得直线l的解析式，再利用直线的平移可求得直线l的解析式；

（3）用d可表示出直线l的解析式，则可表示出E、F的坐标，再由勾股定理可表示出CE和CF的长，由条件可得到关于d的方程，可求得d的值，进一步可求得∠ECF的度数．

（1）∵正方形的面积为16，∴OA2=16，解得：OA=4，∴B（4，4）．

故答案为：（4，4）；

（2）设直线BD解析式为y=kx+b，把B、D坐标代入可得：，解得：，∴直线BD解析式为y=x+3，当d=1时，则直线l的解析式为y=x+2；

（3）由（2）可知直线BD解析式为y=x+3，向下平移d个单位时，可得直线l解析式为y=x+3﹣d，当y=0时可得：x+3﹣d=0，解得：x=4d﹣12，当x=4时，则y=4﹣d，∴E（4d﹣12，0），F（4，4﹣d），且C（0，4），∴CE2=（4d﹣12）2+42，CF2=42+（4﹣d﹣4）2=42+d2．

∵CE=CF，∴（4d﹣12）2+42=42+d2，解得：d=4或d=．

①当d=4时，则点E和点F重合，可得：∠ECF=0°；

②当d=时，则E（﹣，0），F（4，），∴EF2=（4+）2+（）2=，且CE2=CF2=42+（）2=，∴CE2+CF2=EF2，∴∠ECF=90°．

综上所述：若CE=CF，当d=4时，∠ECF=0°，当d=时，∠ECF=90°．