Question

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．

（1）如图1中，PG与PC的位置关系是　   　，数量关系是　   　；

（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；

（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求的值．

Answer

（1）PG⊥PC且PG=PC；（2）详见解析；（3）PG：PC=．

【解析】

（1）延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根据正方形的性质就可以得出HC=GC，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论；

（2）如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，根据直角三角形的性质就可以得出结论；

（3）如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，根据菱形的性质可以得出△HCG是等腰三角形，由菱形的内角和可以求出∠PCG=60°，由特殊角的三角函数值就可以求出结论．

（1）PG⊥PC且PG=PC．理由：

如图1，延长GP交DC于点H．

∵四边形ABCD和BEFG是正方形，∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，∴CD∥GF，∴∠CDP=∠GFP．

∵P是线段DF的中点，∴DP=FP．

在△DHP和△FGP中，∵，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴DH=FG，PH=PG，∴HC=GC，∴△HCG是等腰直角三角形．

∵PH=PG，∴PG⊥PC且PG=PC．

（2）如图2，延长GP交DC于点H．

∵四边形ABCD和BEFG是矩形，∴∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，∴CD∥GF，∴∠CDP=∠GFP．

∵P是线段DF的中点，∴DP=FP．

在△DHP和△FGP中，∵，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴PH=PG=HG．

∵∠DCB=90°，∴△HCG是直角三角形，∴CP=HG，∴PG=PC；

（3）如图3，延长GP交CD于H．

∵P是DF的中点，∴DP=FP．

∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，∴DC∥GF，∴∠HDP=∠GFP．

在△DHP和△FGP中，∵，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴HP=GP，DH=FG．

∵CD=CB，FG=GB，∴CD﹣DH=CB﹣FG，即：CH=CG，∴△HCG是等腰三角形，∴PC⊥PG，∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一），∴∠CPG=90°．

∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∴∠GCP=∠DCB=60°，∴Rt△CPG中，．

故答案为：PG⊥PC，PG=PC，PG：PC=．