Question

如图，抛物线y₁=(x+1)²+1与y₂=a(x﹣4)²﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：

①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y₁＞y₂.

其中正确的结论是(　　)

A. ①③④    B. ①③    C. ①②④    D. ②

Answer

B

【解析】

把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．

抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），
∴3=a（1-4）2-3，
解得：a=，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x-4）2-3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选：B．