Question

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）填空：b=　   　，c=　   　；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

Answer

（1）b= ，c=4；（2）△APQ不可能是直角三角形，理由见解析；（3）t=；（4）Q′（ ， ）．

【解析】试题（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；

（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；

（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；

（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4），

将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4，

∴b=，c=4．

（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．

理由如下：连结QC．

∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，

∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，

∴C（0，4）．

∵AP=OQ=t，

∴PC=5﹣t，

∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，

∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．

∵由题意可知：0≤t≤4，

∴t=4.5不和题意，即△APQ不可能是直角三角形．

（3）如图所示：

过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．

∵PG∥y轴，

∴△PAG∽△ACO，

∴，即，

∴PG=t，AG=t，

∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t．

∵∠MPQ=90°，∠D=90°，

∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，

∴∠DMP=∠EPQ．

又∵∠D=∠E，PM=PQ，

∴△MDP≌PEQ，

∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，

∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t，

∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）．

∵点M在x轴下方的抛物线上，

∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=．

∵0≤t≤4，

∴t=．

（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．

∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，

∴EH=QO=t，RH∥OQ．

∵A（﹣3，0），N（﹣ ，0），

∴点N为OA的中点．

又∵R为OP的中点，

∴NR=AP=t，

∴RH=NR，

∴∠RNH=∠RHN．

∵RH∥OQ，

∴∠RHN=∠HNO，

∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．

设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得： ，

解得：m= ，n=4，

∴直线AC的表示为y=x+4．

同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．

设直线NR的函数表达式为y=x+s，将点N的坐标代入得： ×（﹣）+s=0，解得：s=2，

∴直线NR的表述表达式为y=x+2．

将直线NR和直线BC的表达式联立得： ，解得：x= ，y=，

∴Q′（， ）．