Question

如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1)操作发现：如图 2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是              ；

②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是          ；

(2)猜想论证：

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

 

Answer

（1）DE∥AC；S1=S2；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60º,然后根据内错角相等,两直线平行解答;

②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30º角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;

(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用"角角边"证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;

试题解析：

（1）①线段DE与AC的位置关系是 平行 ．②S1与S2的数量关系是 相等 ．

证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC，

∴DN=CF,DN=EM．

∴CF=EM．

∵∠ACB=90º,∠B=30º，

∴AB=2AC．

又∵AD=AC,

∴BD=AC．

∵S1=CF·BD,S2=AC·EM，

∴S1=S2．

证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.

∵∠DCE=∠ACB=90º∴∠DCG+∠ACE=180º．

又∵∠ACH+∠ACE=180º,∴∠ACH=∠DCG．

又∵∠CHA=∠CGD=90º,AC=CD,

∴△AHC≌△DGC．

∴AH=DG．

又∵CE=CB,

∴S1=S2．