Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论：①②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B，C，F，D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若,则,其中正确的结论序号是（     ）

A. ①②    B. ③④    C. ①②③    D. ①②③④

Answer

C

【解析】解：∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴ ．∵BC=AB，∴，∴①正确．

∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG．∵AB=BC，∠GAB=∠DBC=90°，∴△CBD≌△BAG，∴AG=BD．∵BD=AB，∴，∴，∴．∵AC=AB，∴AF=AB，∴②正确；

∵B，C，F，D四点共圆，∠DBC=90°，∴CD为直径，∴∠CFD=90°．∵BF⊥CD，∴BE=EF，∴BD=DE，∴③正确；

∵AG∥BC，∴ ．∵BC=AB，∴．∵AG=BD， ，∴，∴=，∴AF=AC，∴S△ABF=S△ABC，∴S△BDF=S△ABF，∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF，∴④错误．

故答案为：①②③．