Question

如图，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．

Answer

三角形ABC为等边三角形，理由详见解析.

【解析】

△ABC为等边三角形，将△ABC绕B点旋转，使A点与D点重合，得△ABC′，连接CC′，则得到△ABC≌△DBC′，再由角的关系及等腰三角形的性质证明△ACD≌△C′DC，△ABD≌△CBC′，得出∠∠ABC=60°，从而判定△ABC为等边三角形.

【解析】
三角形ABC为等边三角形.

因此将△ABC绕B点旋转，使A点与D点重合，连接CC′，则△ABC≌△DBC′，

∴BC=BC′，AC=DC′，∠BDC′=∠BAC，∠ABC=∠DBC′，

∵∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，

∴∠CDC′=∠CDA+∠BDA+∠BDC′=∠CDA+∠BDA+∠ABC=∠CDA+∠BDA+∠CAD+∠BAD=30°+15°+45°+15°=105°，

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=180°-45°-30°=105°，

又CD=CD，

∴△ACD≌△C′DC，

∴AD=CC′，

∠CBC′=∠DBC′+∠CBD，∠ABD=∠ABC+∠CBD，

∵∠ABC=∠DBC′，

∴∠CBC′=∠ABD=180°-15°-15°=150°，

∴∠BCC′=∠BC′C=15°，

∴△ABD≌△CBC′，

∴AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC=∠BAD+∠CAD=15°+45°=60°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形．