Question

概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．

从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

理解概念

如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”概念应用

如图2，在中，CD为角平分线，，．

求证：CD为的等角分割线．

在中，，CD是的等角分割线，直接写出的度数．

Answer

（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）见解析；（3）∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°

【解析】

（1）根据“等角三角形”的定义解答；

（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝

∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明；

（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．

（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；

（2）∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°

∵CD为角平分线，

∴∠ACD=∠DCB= 40°，

∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，

∴CD=DA，

∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，

∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°，

∴∠BDC=∠ACB，

∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，

∠B=∠B，

∴CD为△ABC的等角分割线；

（3）∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°