Question

如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（　　）

A. ①②③    B. ②③④    C. ①③④    D. ①②③④

Answer

B

【解析】

①错误，假设成立，推出矛盾即可；

②正确．想办法证明∠GPD=∠GDP即可；

③正确．想办法证明PC=PQ=PA即可；

④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP•AD=AF•AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，由此即可解决问题；

【解析】
①错误，假设∠BAD=∠ABC，则弧BD=弧AC，

∵弧AC=弧CD，

∴弧BD=弧AC=弧CD，显然不可能，故①错误．

②正确．连接OD．

∵GD是切线，

∴DG⊥OD，

∴∠GDP+∠ADO=90°，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠OAD，

∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，

∴∠GPD=∠GDP，

∴GD=GP，故②正确．

③正确．∵AB⊥CE，

∴弧AE=弧AC，

∵弧AC=弧CD，

∴弧CD=弧AE，

∴∠CAD=∠ACE，

∴PC=PA，

∵AB是直径，

∴∠ACQ=90°，

∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ=PA，

∵∠ACQ=90°，

∴点P是△ACQ的外心．故③正确．

④正确．连接BD．

∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴=，

∴AP•AD=AF•AB，

∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，

∴△ACF∽△ABC，

可得AC2=AF•AB，

∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，

∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，

∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，

故选：B．