Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣2x+m﹣1=0

（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；

（3）设x₁，x₂是这个方程的两个实根，且1+x₁x₂=x₁²+x₂²，求m的值．

Answer

（1）见解析；（2）方程的两根都是正数，m的取值范围是1＜m≤2；（3）m=2．

【解析】

（1）首先利用根的判别式得出关于m的式子，再结合根与系数的关系得出答案；

（2）根据方程的两根都是正数得：x1x2=m-1＞0，解不等式，并与（1）问综合可得结论；

（3）利用两根和与两根积代入可得m的值．

（1）∵△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）=﹣4m+8＞0，

∴m＜2时，方程有两个不相等的实数根；

（2）设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1＞0，x2＞0，

∴x1x2=m﹣1＞0，

∴m＞1，

∴方程的两根都是正数，m的取值范围是：1＜m≤2；

（3）∵x1+x2=2，x1x2=m﹣1，

1+x1x2=x12+x22，

1+m﹣1=22﹣2（m﹣1），

m=2．