Question

某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据

销售单价x（元、件）	…	30	40	50	60	…
每天销售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？

（3）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元？

Answer

（1）y=﹣10x+800；（2）当销售单价定为40或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元；（3）销售单价定为40到45元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元．

【解析】

本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式为y=-10x+800，然后根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．

（1）由表格数据可推想函数表达式为一次函数，

设：函数y与x的表达式为：y=kx+b

将（30，500），（40，400）代入表达式得：k=﹣10，b=800．

函数关系式为：y=﹣10x+800；

（2）由题意得：

（x﹣20）（﹣10x+800）=8000

解得：x1=40，x2=60．

即：当销售单价定为40或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元．

（3）工艺品每天获得的利润为W元，由题意得：

W=（x﹣20）（﹣10x+800）=﹣10（x﹣50）2+9000，

∴当x=50时，每天获得的利润最大，为9000元．

当W=（x﹣20）（﹣10x+800）≥8000时，得

40≤x≤60，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，

那么销售单价定为40到45元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元．