Question

如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，点P是⊙O上AB上方的一个动点（P不与A、B重合），已知∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．

（1）设∠A=α，当圆心O在∠APB内部时，写出α的取值范围；

（2）求证：CM是⊙O的切线；

（3）若OC=4，PB=4，求PC的长．

Answer

（1）当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；（2）证明见解析；（3）2+2．

【解析】

（1）取特殊情况：当O点在PA上，即AP为直径，根据圆周定理得∠PBA=90°，而∠APB=60°，得到此时∠A=30°；当O点在PB上，即BP为直径，得到∠A=90°；由此得到当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；

（2）连结OB，根据垂径定理由OC⊥AB得到AC弧=BC弧，再根据圆周角定理得∠APB=∠BCP，于是由∠APB=60°得到∠BPC=30°，然后利用∠BOC=2∠BPC=60°可判断△OBC为等边三角形，则∠MCB=30°，可计算出∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；

（3）作BE⊥PC于E，如图，在Rt△PBE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=PB=2，PE=BE=2，再由△OBC为等边三角形得BC=OC=4，则可根据勾股定理计算出CE，然后利用PC=PE+CE进行计算即可．

（1）当O点在PA上，即AP为直径，则∠PBA=90°，而∠APB=60°，所以此时∠A=30°；

当O点在PB上，即BP为直径，则∠A=90°；

所以当圆心O在∠APB内时，α的取值范围为30°＜α＜90°；

（2）证明：连结OB，如图，

∵OC⊥AB，

∴，

∴∠APB=∠BCP，

∵∠APB=60°，

∴∠BPC=30°，

∴∠BOC=2∠BPC=60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠OCB=60°，

∵∠OCB=2∠BCM，

∴∠MCB=30°，

∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，

∴OC⊥MC，

∴CM与⊙O相切；

（3）作BE⊥PC于E，如图，

在Rt△PBE中，∠BPE=30°，PB=4，

∴BE=PB=2，PE=BE=2，

∵△OBC为等边三角形，

∴BC=OC=4，

在Rt△BEC中，CE=，

∴PC=PE+CE=．