Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．

（1）求P点的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）设四边形OMPC的面积为S₁，四边形ABNP的面积为S₂，请你就x的取值范围讨论S₁与S₂的大小关系并说明理由；

（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？

Answer

（1）点P坐标为(x,)；（2）S的最大值为，此时x=2；（3）当0＜x＜2时，S1＜S2；当x=2时，S1=S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（4）x=，或x=，或x=．

【解析】

（1）首先根据题意得到C、M、N三点的坐标值．根据三角形中三角函数的关系，进而得到P点的坐标值．

（2）设△NPC的面积为S．在△NPC，根据（1）可知CN的长关于x的表达式，NC边上的高关于x的表达式．再利用三角形面积的计算公式求得，S关于x二次函数表达式．在x的取值范围内求该二次函数的最大值．

（3）根据梯形的面积计算公式写出S1关于x的表达式，根据S2=S△ABC-S△PCN写出关于x的关系式．再就0＜x＜4的取值，讨论S1与S2的大小关系．

（4）首先延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三种情况讨论x的取值．

（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），

∴点P坐标为(x，3−x)；

（2）设△NPC的面积为S，

在△NPC中，NC=4-x，NC边上的高为x，其中，0≤x≤4，

∴S=（4-x）×x=-（x-2）2+，

∴S的最大值为，此时x=2；

（3）由图形知，S1= (OC+MP)•OM＝ (3+3−x)•x

S2=S△ABC-S△PCN=×4×3− (4−x)×x；

当0＜x＜2时，S1＜S2；当x=2时，S1=S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；

（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．

①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．

②若CP=CN，则，CN=4-x，PQ=x，CP=x，4-x=x，∴x=．

③若CN=NP，则CN=4-x．∵PQ=x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2

∴（4-x）2=（4-2x）2+（x）2，∴x=．

综上所述，x=，或x=，或x=．